Dados dos números no primos entre sí, hallar su medida común máxima.

Sean AB, GD los dos números dados no primos entre sí. Así pues, hay que hallar la medida común máxima de AB, GD. Si en efecto GD mide a AB, y se mide también a sí mismo, entonces GD es medida común de GD, AB. Y está claro que también es la máxima, pues ninguna mayor que GD medirá a GD. Pero si GD no mide a AB, entonces, restándose sucesivamente el menor de los AB, GD del mayor, quedará un número que medirá al anterior. Pues no quedará una unidad: porque en otro caso AB, GD serán primos entre sí [VII, 1], que es precisamente lo que se ha supuesto que no. Así pues, quedará un número que medirá al anterior. Ahora bien, GD, al medir a BE, deje EA menor que él mismo, y EA, al medir a DZ, deje ZG menor que él mismo, y mida GZ a AE. Así pues, como GZ mide a AE, y AE mide a DZ, entonces GZ medirá también a DZ; pero se mide también a sí mismo; entonces medirá también al total GD. Pero GD mide a BE; luego GZ mide a BE; y mide también a EA; por tanto medirá también al total BA; pero mide también a GD; entonces GZ mide a AB, GD. Por tanto, GZ es medida común a AB, GD. Digo ahora que también es la máxima. Pues, si GZ no es la medida común máxima de AB, GD, un número que sea mayor que GZ medirá a los números AB, GD. Mídalos y sea H. Y como H mide a GD y GD mide a BE, entonces H mide también a BE; pero también mide al total BA; entonces medirá tambián al resto AE. Pero AE mide a DZ; por tanto, H medirá a DZ y mide también al total DG; luego medirá también al resto GZ, esto es: el mayor al menor, lo cual es imposible; así pues, no medirá a los números AB, GD un número que sea mayor que GZ. Por consiguiente, GZ es la medida común máxima de AB, GD. Porisma: A partir de esto queda claro que, si un número mide a dos números, medirá también a su medida común máxima. Q.E.D.

Proposición 2. Libro VII. Elementos. Euclides.

* Stoiceia (circa 300 a.C.)