La Materia

Motivaciones y Objetivos

Los conjuntos fractales constituyen un tema de creciente interés científico en la matemática, las ciencias aplicadas y la computación, desde que fueran recientemente descubiertos. Su gran difusión y aplicabilidad interdisciplinaria se debe a varias razones, entre las cuales podemos contar su universalidad como fenómeno natural, sus interesantes propiedades matemáticas, su relativamente sencillo tratamiento computacional, y la sugestiva belleza de sus representaciones gráficas. La geometría fractal se convirtió rápidamente en un lenguaje adecuado para describir las complejas formas naturales, en contraposición con la geometría Euclídea, más amena para las idealizaciones matemáticas. Al mismo tiempo, su descripción matemática se basa en la formulación iterativa o recursiva, en vez de la definición axiomática característica de los objetos matemáticos tradicionales. Estos dos factores hacen de los objetos fractales un recurso sobresaliente a la hora de simular fenómenos naturales de todo tipo.

El objetivo de esta materia consiste en presentar los fundamentos matemáticos de los conjuntos fractales y su relación con los sistemas dinámicos caóticos, luego enfocarse en los aspectos algorítmicos y de implementación de fractales determinísticos, no determinísticos y de funciones iteradas, para luego desarrollar las aplicaciones más importantes de estos conjuntos en la simulación de fenómenos naturales, la computación gráfica y el procesamiento digital de imágenes.

Programa Analítico

  1. Introducción y motivaciones. La necesidad de una nueva geometría para describir los fenómenos naturales. Simetría a escala y la medición de objetos complejos. Otros fenómenos estadísticos relacionados.
  2. Fractales clásicos y definiciones topológicas. Conjuntos de Cantor, von Koch y Peano. Limitaciones de la geometría Euclídea. Relación entre medida y dimensión. Dimensión no entera. Dimensión fractal de conjuntos matemáticos y de fenómenos naturales.
  3. Iteración y sistemas dinámicos. Evaluación numérica de trayectorias. Métodos de Euler y Runge-Kutta. Representación gráfica de diagramas de fases. Atractores extraños y caos. Ecuación logística.
  4. Caos determinístico y fractales. Algunos atractores: Hénon, Rössler y Lorenz. Conjunto de Julia. La universalidad del caos. Conjunto de Mandelbrot.
  5. Algunos formalismos relacionados: autómatas celulares y gramáticas. Universalidad de los autómatas celulares. Estructuras recursivas. Gramáticas y sistemas-L. Aplicaciones en los modelos botánicos.
  6. Fractales no determinísticos. Relación entre fractales y análisis fraccional. Dimensión fractal y varianza. Métodos espaciales y frecuenciales para la determinación de fractales no determinísticos.
  7. Aplicaciones de los fractales no determinísticos en Computación Gráfica. Síntesis de fenómenos naturales (terrenos, crecimiento vegetal, percolación, nubes, turbulencia, etc.) Métodos en el dominio frecuencia (FFT inversa) y en el dominio espacial (desplazamiento aleatorio).
  8. Sistemas de función iterada (IFS). Descripción de imágenes por simetría a escala. Teoremas de punto fijo y el teorema del collage.
  9. Aplicaciones de los IFS en Computación Gráfica. Síntesis de fenómenos naturales. Procesamiento y compresión fractal de imágenes.

Bibliografía

Datos básicos

Profesor:
Dr. Claudio Delrieux (claudio arroba acm punto org)
Docente:
Pablo Haramburu (ph0u arroba dc punto uba punto ar)
Horarios:
Comienzo de clases:
3 de abril de 2012.
Carácter:
optativa; 3 puntos para Licenciatura en Cs. de la Computación; puntaje para Doctorado a confirmar.
Forma de aprobación:
Ocho trabajos prácticos, dos parciales y un final.

Ultima actualización: 27 mar 2012
Sugerencias, comentarios, preguntas, críticas? (ph0u arroba dc punto uba punto ar)